Sur la transitivité dans une catégorie concrète

Abstract

Le but de cette note est d'étudier les propriétés de transitivité dans une catégorie concrète 𝒜 avec comme principal instrument la donnée d'une structure plus forte sur certains objets de 𝒜 ; par exemple, l'étude de la transitivité dans le groupe additif d'un anneau au moyen des multiplications de cet anneau. Au n° 1 nous formalisons cette situation ; le théorème 1.8 nous fournit un cadre que nous avons étudié dans notre thèse [2] et dans lequel l'action de la structure forte s'exerce de façon efficace. Aux n° 2, 4, 5, nous démontrons quelques résultats simples ; de plus, en ajoutant des précisions sur les catégories utilisées, nous construisons une suite exacte qui nous fournit des renseignements plus fins sur la transitivité (n° 4 et 5). Au passage, nous examinons l'anneau des endomorphismes du module additif d'un anneau (n° 3). Enfin, nous obtenons quelques résultats précis dans le type de catégories introduites en 1.8. Par ce biais, nous généralisons les résultats de base de Armstrong [1]. Notre terminologie est celle de Mac Lane [4] ou Mitchell [5] avec des compléments tirés de Yoneda [6] ; si 𝒜 est une catégorie, A, B ∈ Ob 𝒜, nous notons 𝒜(A,B) l'ensemble des morphismes de A dans B. ℰ désigne la catégorie des ensembles et des fonctions.