DIFFERENTIAL EQUILIBRIUM EQUATIONS IN IDEAL ELASTIC-PLASTIC CONTINUOUS MEDIUM FOR PLANE DEFORMATION IN CARTESIAN COORDINATES AT APPROXIMATION OF CLOSING EQUATIONS BY BIQUADRATIC FUNCTIONS
{"title":"DIFFERENTIAL EQUILIBRIUM EQUATIONS IN IDEAL ELASTIC-PLASTIC CONTINUOUS MEDIUM FOR PLANE DEFORMATION IN CARTESIAN COORDINATES AT APPROXIMATION OF CLOSING EQUATIONS BY BIQUADRATIC FUNCTIONS","authors":"С. В. Бакушев","doi":"10.36622/vstu.2022.33.2.004","DOIUrl":null,"url":null,"abstract":"Постановка задачи. Рассматривается построение дифференциальных уравнений равновесия в перемещениях идеально упругопластической в отношении сдвиговых деформаций геометрически и физически нелинейной сплошной среды для плоского деформирования при биквадратичной аппроксимации замыкающих уравнений в декартовой прямоугольной системе координат. Построение физических зависимостей при этом основано на вычислении секущих модулей объёмного и сдвигового деформирования. Результаты. Исходя из предположения о независимости друг от друга диаграмм объёмного и сдвигового деформирования, рассмотрены пять основных случаев физических зависимостей, зависящих от взаимного расположения точек излома биквадратичных диаграмм объёмного и сдвигового деформирования. При аппроксимации графиков диаграмм объёмного и сдвигового деформирования при помощи двух отрезков парабол секущий модуль сдвига на первом участке является линейной функцией интенсивности деформаций сдвига; секущий модуль объёмного расширения-сжатия является линейной функцией первого инварианта тензора деформаций. На втором участке диаграмм и объёмного, и сдвигового деформирования секущий модуль сдвига является дробной (рациональной) функцией интенсивности деформаций сдвига; секущий модуль объёмного расширения-сжатия является дробной (рациональной) функцией первого инварианта тензора деформации. Подставляя соответствующие физические уравнения в дифференциальные уравнения равновесия сплошной среды, записанные как без учёта, так и с учётом геометрической нелинейности, получаем разрешающие дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях идеально упругопластической в отношении сдвиговых деформаций геометрически и физически нелинейной сплошной среды для плоской деформации в декартовой прямоугольной системе координат. Выводы. Полученные дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях могут найти применение при определении напряжённо-деформированного состояния физически и геометрически нелинейных идеально упругопластических сплошных сред, находящихся в условиях плоского деформирования, замыкающие уравнения физических соотношений для которых аппроксимированы биквадратичными функциями.\n Problem statement. We consider the construction of differential equations of equilibrium in displacements of ideal elastic plastic in relation to shear deformations geometrically and physically nonlinear continuous medium for plane deformation with biquadratic approximation of the closing equations in Cartesian rectangular coordinate system. The construction of physical dependencies in this case is based on the calculation of the secant moduli of volumetric and shear deformation. Results. Proceeding from the assumption that, generally speaking, the diagrams of volumetric and shear deformation are independent from each other, five main cases of physical dependencies are considered, depending on the relative position of break points of the biquadratic diagrams of volumetric and shear deformation. When approximating the graphs of volumetric and shear deformation diagrams using two segments of parabolas, the secant shear modulus in the first section is a linear function of the intensity of shear deformations; the secant modulus of volumetric expansion-compression is a linear function of the first invariant of the strain tensor. In the second section of diagrams of both volumetric and shear deformation, the secant shear modulus is a fractional (rational) function of the intensity of shear deformations; the secant modulus of volume expansion-compression is a fractional (rational) function of the first invariant of the strain tensor. Substituting the corresponding physical equations into the differential equations of equilibrium of continuous medium, written both regarding and regardless geometric nonlinearity, we obtain resolving differential equations of equilibrium in the displacements of ideal elastic-plastic in relation to shear deformations of geometrically and physically nonlinear continuous medium for plane deformation in Cartesian rectangular system coordinates. Conclusions. The obtained differential equations of equilibrium in displacements can be applied in determining the stress-strain state of physically and geometrically nonlinear ideal elastic-plastic continuums under plane deformation conditions, the closing equations of physical relations for which are approximated by biquadratic functions.","PeriodicalId":313102,"journal":{"name":"Stroitelʹnaâ mehanika i konstrukcii","volume":"87 1","pages":"0"},"PeriodicalIF":0.0000,"publicationDate":"2022-06-16","publicationTypes":"Journal Article","fieldsOfStudy":null,"isOpenAccess":false,"openAccessPdf":"","citationCount":"0","resultStr":null,"platform":"Semanticscholar","paperid":null,"PeriodicalName":"Stroitelʹnaâ mehanika i konstrukcii","FirstCategoryId":"1085","ListUrlMain":"https://doi.org/10.36622/vstu.2022.33.2.004","RegionNum":0,"RegionCategory":null,"ArticlePicture":[],"TitleCN":null,"AbstractTextCN":null,"PMCID":null,"EPubDate":"","PubModel":"","JCR":"","JCRName":"","Score":null,"Total":0}
引用次数: 0
Abstract
Постановка задачи. Рассматривается построение дифференциальных уравнений равновесия в перемещениях идеально упругопластической в отношении сдвиговых деформаций геометрически и физически нелинейной сплошной среды для плоского деформирования при биквадратичной аппроксимации замыкающих уравнений в декартовой прямоугольной системе координат. Построение физических зависимостей при этом основано на вычислении секущих модулей объёмного и сдвигового деформирования. Результаты. Исходя из предположения о независимости друг от друга диаграмм объёмного и сдвигового деформирования, рассмотрены пять основных случаев физических зависимостей, зависящих от взаимного расположения точек излома биквадратичных диаграмм объёмного и сдвигового деформирования. При аппроксимации графиков диаграмм объёмного и сдвигового деформирования при помощи двух отрезков парабол секущий модуль сдвига на первом участке является линейной функцией интенсивности деформаций сдвига; секущий модуль объёмного расширения-сжатия является линейной функцией первого инварианта тензора деформаций. На втором участке диаграмм и объёмного, и сдвигового деформирования секущий модуль сдвига является дробной (рациональной) функцией интенсивности деформаций сдвига; секущий модуль объёмного расширения-сжатия является дробной (рациональной) функцией первого инварианта тензора деформации. Подставляя соответствующие физические уравнения в дифференциальные уравнения равновесия сплошной среды, записанные как без учёта, так и с учётом геометрической нелинейности, получаем разрешающие дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях идеально упругопластической в отношении сдвиговых деформаций геометрически и физически нелинейной сплошной среды для плоской деформации в декартовой прямоугольной системе координат. Выводы. Полученные дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях могут найти применение при определении напряжённо-деформированного состояния физически и геометрически нелинейных идеально упругопластических сплошных сред, находящихся в условиях плоского деформирования, замыкающие уравнения физических соотношений для которых аппроксимированы биквадратичными функциями.
Problem statement. We consider the construction of differential equations of equilibrium in displacements of ideal elastic plastic in relation to shear deformations geometrically and physically nonlinear continuous medium for plane deformation with biquadratic approximation of the closing equations in Cartesian rectangular coordinate system. The construction of physical dependencies in this case is based on the calculation of the secant moduli of volumetric and shear deformation. Results. Proceeding from the assumption that, generally speaking, the diagrams of volumetric and shear deformation are independent from each other, five main cases of physical dependencies are considered, depending on the relative position of break points of the biquadratic diagrams of volumetric and shear deformation. When approximating the graphs of volumetric and shear deformation diagrams using two segments of parabolas, the secant shear modulus in the first section is a linear function of the intensity of shear deformations; the secant modulus of volumetric expansion-compression is a linear function of the first invariant of the strain tensor. In the second section of diagrams of both volumetric and shear deformation, the secant shear modulus is a fractional (rational) function of the intensity of shear deformations; the secant modulus of volume expansion-compression is a fractional (rational) function of the first invariant of the strain tensor. Substituting the corresponding physical equations into the differential equations of equilibrium of continuous medium, written both regarding and regardless geometric nonlinearity, we obtain resolving differential equations of equilibrium in the displacements of ideal elastic-plastic in relation to shear deformations of geometrically and physically nonlinear continuous medium for plane deformation in Cartesian rectangular system coordinates. Conclusions. The obtained differential equations of equilibrium in displacements can be applied in determining the stress-strain state of physically and geometrically nonlinear ideal elastic-plastic continuums under plane deformation conditions, the closing equations of physical relations for which are approximated by biquadratic functions.
任务。在笛卡尔矩形坐标系中,在几何和物理非线性连续介质中完美弹性平衡微分方程的构造被考虑。物理依赖性的构建是基于计算空间和移位变形的分子式模块。结果。根据关于独立空间和移位变形的假设,考虑到物理依赖的五个主要案例,这取决于双方格空间和移位图的相互位置。在空间和移位图近似时,抛物线第一段截断模是移移强度线性函数;空间膨胀-压缩截面模块是第一个应变张量逆变的线性函数。在第二部分图中,切变的空间和切变的空间和切变的切变部分是切变强度的分式(有理)函数;空间膨胀-压缩分叉模块是第一个应变应变逆变的函数(有理)。将相应的物理方程置于单个连续介质的微分方程中,这些方程既不考虑也不考虑几何非线性,因此得到了完全弹性的运动均衡微分方程的许可。结论。在平面变形条件下的物理和几何非线性全弹性连续介质的微分方程可以应用于由双平方函数近似的物理关系方程。Problem宣言。我们正在建造一套不同的、不同的、不同的、不同的、不同的、不同的、不同的建筑。在这种情况下,物理解构是基于volumetric和shear解构的秘密模式。Results。从本质上说,一般的争论,从本质上说,是独立的,从本质上说,是独立的。当第一部分中隐藏的阴影和阴影解构图像时,第一部分中隐藏的阴影模式是一种模式的延伸;《volumetric扩展》的秘密modulus是最初的《strain tensor》的前奏。在both volumetric和shear deformation的第二部分,第二部分是一个框架框架(分层)的框架框架。《变形金刚》的第二部电影是《变形金刚》的第一部。Substituting the corresponding物理方程into the差速器方程of equilibrium of continuous medium, = = both资源and regardless geometric nonlinearity, we obtain resolving差速器方程of equilibrium in the displacements of ideal elastic plastic in relation to剪切deformations of geometrically and physically nonlinear continuous medium for plane deformation in Cartesian rectangular system coordinates。Conclusions。《发现》中的《发现》可能会被《发现》中的《发现》和《发现》中的《发现》中的《发现》所取代。