CALCULATION OF A BEAM ON ELASTIC BASE ANALYTICAL AND NUMERICAL METHODS

Abstract

Постановка задачи. Аналитическим и [2]численным методами решить задачу о балке на упругом основании. С этой целью построить эпюры: изгибающих моментов M, поперечных сил Q, прогибов v, углов поворота поперечных сечений φ, реактивного отпора основания q . Результаты. Цель данной статьи состоит в том, чтобы рассмотреть двутавровую балку, лежащую на упругом грунтовом основании и несущую силовые нагрузки в виде сосредоточенной силы, момента и распределённой нагрузки. Для таких балок практический интерес будет представлять множество выходных результатов нагружения: функция прогибов и углов поворота поперечных сечений, изгибающие моменты и поперечные силы в сечениях, реакции опор, реактивный отпор основания. Конкретный пример рассмотрен двумя методами: аналитическим и численным, получены результаты в виде эпюр. В обоих случаях использованы компьютерные технологии счёта и алгоритмический язык Matlab. В аналитическом решении применены функции А.Н. Крылова, в численном - метод конечных разностей. Проверена прочность балки при изгибе. Релевантность статьи состоит в том, чтобы получить ответы на запросы современной строительной практики при решении задач, усложнившихся в настоящее время при расчётах и конструировании фундаментов. Выводы. Два решения задачи, полученные аналитическим и численным методами, почти совпадают. Из этого следует, что оба решения верные. Аналитическое решение выполнено с привлечением функций А.Н. Крылова, тригонометрических и трансцендентных функций, операции над которыми требуют значительного времени. Решение задачи численным методом конечных разностей оказывается более коротким и связано с решением обыкновенного дифференциального уравнения с правой частью и системы алгебраических уравнений. Вычислительный комплекс Matlab c помощью несложных программ за весьма короткое время решает данные задачи. Problem statement. Solve the problem of a beam on an elastic foundation using analytical and numerical methods. For this purpose, plot diagrams: bending moments M , shear forces Q , deflections v , angles of rotation of cross sections φ , base rebound q . Results. The purpose of this article is to consider an I-beam lying on an elastic soil foundation and carrying power loads in the form of a concentrated force, a moment and a distributed load. For such beams, a variety of output loading results will be of practical interest: the function of deflections and angles of rotation of cross sections, bending moments and transverse forces in sections, support reactions, reactive rebound of the base. A specific example is considered by two methods: analytical and numerical, the results are obtained in the form of diagrams. In both cases, computer computing technologies and the Matlab programming platform were used. The functions of A.N. Krylov are used in the analytical solution, in the numerical solution - the method of finite differences. The bending strength of the beam has been tested. The relevance of the article is to get answers to the demands of modern construction practice in solving problems that have become more complicated at present calculations and design of foundations. Conclusions. Two solutions of the problem obtained by analytical and numerical methods almost coincide. It follows that both solutions are correct. It should be noted that the analytical solution was made using the functions of A.N. Krylov, trigonometric and transcendental functions, operations on which require considerable time.The solution of the problem by the numerical finite difference method turns out to be shorter and is associated with the solution of an ordinary differential equation with the right side and a system of algebraic equations. The Matlab computer complex solves these problems in a very short time with the help of simple programs.