Ramsey Chains in Linear Forests

Abstract

Every red–blue coloring of the edges of a graph G results in a sequence G1, G2, …, Gℓ of pairwise edge-disjoint monochromatic subgraphs Gi (1≤i≤ℓ) of size i, such that Gi is isomorphic to a subgraph of Gi+1 for 1≤i≤ℓ−1. Such a sequence is called a Ramsey chain in G, and ARc(G) is the maximum length of a Ramsey chain in G, with respect to a red–blue coloring c. The Ramsey index AR(G) of G is the minimum value of ARc(G) among all the red–blue colorings c of G. If G has size m, then k+12≤m

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线性森林中的拉姆齐链

对图G的每条边进行红蓝着色，得到大小为i的对边不相交的单色子图Gi(1≤i≤r)的序列G1, G2，…，G，使得Gi在1≤i≤r−1时与Gi+1的子图同构。这样的序列称为拉姆齐链G,和弧(G)的最大长度是拉姆齐连锁G,对红蓝着色c。拉姆齐指数基于“增大化现实”技术(G)的最小值是G的弧(G)在所有G .如果G大小的红蓝色素c m, k + 12≤m<一些正整数k + 22 k。它已经表明,有无限类的图表,这样每一个图G的大小m S,基于“增大化现实”技术(G) = k当且仅当k + 12≤m< k + 22。其中两个类是匹配大小为m的mK2和路径Pm+1。它们都是线性森林的子类(其中每个组件都是路径)。证明了如果F是任意大小为m且k+12<m<k+22的线性森林，则AR(F)=k。更进一步，如果F是一个大小为k+12的线性森林，其中k≥4，最多有k−12个分量，则AR(F)=k，而对于k−12<t<k+12的每一个整数t，存在一个大小为k+12，有t个分量的线性森林F，使得AR(F)=k−1。

本文章由计算机程序翻译，如有差异，请以英文原文为准。