PARTITIONS OF NATURAL NUMBERS AND THEIR WEIGHTED REPRESENTATION FUNCTIONS

Abstract

Abstract For any positive integers $k_1,k_2$ and any set $A\subseteq \mathbb {N}$ , let $R_{k_1,k_2}(A,n)$ be the number of solutions of the equation $n=k_1a_1+k_2a_2$ with $a_1,a_2\in A$ . Let g be a fixed integer. We prove that if $k_1$ and $k_2$ are two integers with $2\le k_1

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自然数的划分及其加权表示函数

摘要对于任意正整数$k_1,k_2$和任意集合$A\subseteq \mathbb {N}$，设$R_{k_1,k_2}(A, N)$是方程$ N =k_1a_1+k_2a_2$与$a_1,a_2\在A$中的解的个数。设g为一个固定整数。证明了如果$k_1$和$k_2$是两个整数，且$2\le k_1<k_2$和$(k_1,k_2)=1$，则不存在任何集$A\subseteq \mathbb {N}$使得$R_{k_1,k_2}(A, N)-R_{k_1,k_2}(\ math_1 <k_2$)=g$，如果$1=k_1<k_2$，则存在一个集A使得$R_{k_1,k_2}(A, N)-R_{k_1,k_2}(\ math_1 <k_2}(\mathbb {N}\ set- A, N)对所有正整数N =1$。

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