ЕКСТРЕМАЛЬНА ЗАДАЧА У ЗГОРТКАХ З ДВОМА ЯДРАМИ

Abstract

Розглянуто ситуацію, коли інтегральне рівняння з двома ядрами у згортках не має розв’язків. Тоді нетривіальною стає задача побудована у згортках з двома ядрами сформована на базі інтегрального рівняння та обмежена мінімальною функціональною залежністю. Де ядерні функції належать певному класу, є задана функція і шукана функція, які належать до підкласу, вагова функція обмежена зверху і знизу додатними сталими.У даній роботі запропоновано наступну методику розв’язання цієї екстремальної задачі. Використовуючи умови розв’язності інтегрального рівняння та позначивши вираз під модулем через сталу, прийдемо до задачі мінімізації квадратичного функціоналу з шуканою функцією і лінійними функціоналами у додаткових умовах.В роботі доведено, що отримана екстремальна задача має єдиний розв’язок та знайдено цей розв’язок. Таким чином, у роботі показано перехід до розв’язного рівняння з двома ядрами.В образах Фур’є дане рівняння зведено до задачі Рімана на осі абсцис теорії аналітичних функцій і розв’язано в квадратурах. Розв’язок єдиний.В роботі наведено алгоритм розв’язання поставленої екстремальної задачі та приклад. У сучасній теорії функцій з комплексною змінною однією з найважливіших областей досліджень є теорія крайових (граничних) задач у класах аналітичних функцій та їх різних узагальнень.Оператори типу згортки часто зустрічаються при вивченні лінійних систем. Якщо на вхід такої системи подаються певні сигнали, то сигнал на виході представляється у вигляді згортки двох функцій. При цьому одна з функція називається імпульсною функцією відгуку, а її образ Фур’є – передаточною функцією системи. Значить, поставлену задачу можна трактувати так: імпульсну функцію відгуку потрібно підібрати так, щоб сигнал на виході системи якомога менше відрізнявся б від попередньо заданої функції.Результати, отримані в ході виконання представленої роботи, можуть бути використані для розробки наближених чисельно-аналітичних розв’язків задачі.