A NONCOMMUTATIVE ANALOGUE OF CLAUSEN’S VIEW ON THE IDÈLE CLASS GROUP

IF 1.1 2区 数学 Q1 MATHEMATICS Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu Pub Date : 2024-04-02 DOI:10.1017/s1474748024000100
Oliver Braunling, Ruben Henrard, Adam-Christiaan van Roosmalen
{"title":"A NONCOMMUTATIVE ANALOGUE OF CLAUSEN’S VIEW ON THE IDÈLE CLASS GROUP","authors":"Oliver Braunling, Ruben Henrard, Adam-Christiaan van Roosmalen","doi":"10.1017/s1474748024000100","DOIUrl":null,"url":null,"abstract":"<p>Clausen a prédit que le groupe des classes d’idèles de Chevalley d’un corps de nombres <span>F</span> apparaît comme le premier <span>K</span>-groupe de la catégorie des <span>F</span>-espaces vectoriels localement compacts. Cela s’est avéré vrai, et se généralise même aux groupes <span>K</span> supérieurs dans un sens approprié. Nous remplaçons <span>F</span> par une <span><span><img data-mimesubtype=\"png\" data-type=\"\" src=\"https://static.cambridge.org/binary/version/id/urn:cambridge.org:id:binary:20240330095737514-0030:S1474748024000100:S1474748024000100_inline1.png\"><span data-mathjax-type=\"texmath\"><span>$\\mathbb {Q}$</span></span></img></span></span>-algèbre semi-simple, et obtenons le groupe des classes d’idèles noncommutatif de Fröhlich de manière analogue, modulo les éléments de norme réduite une. Même dans le cas du corps de nombres, notre preuve est plus simple que celle existante, et repose sur le théorème de localisation pour des sous-catégories percolées. Enfin, en utilisant la théorie des corps de classes, nous interprétons la loi de réciprocité d’Hilbert (ainsi qu’une variante noncommutative) en termes de nos résultats.</p><p>Clausen predicted that Chevalley’s idèle class group of a number field <span>F</span> appears as the first <span>K</span>-group of the category of locally compact <span>F</span>-vector spaces. This has turned out to be true and even generalizes to the higher <span>K</span>-groups in a suitable sense. We replace <span>F</span> by a semisimple <span><span><img data-mimesubtype=\"png\" data-type=\"\" src=\"https://static.cambridge.org/binary/version/id/urn:cambridge.org:id:binary:20240330095737514-0030:S1474748024000100:S1474748024000100_inline2.png\"><span data-mathjax-type=\"texmath\"><span>$\\mathbb {Q}$</span></span></img></span></span>-algebra and obtain Fröhlich’s noncommutative idèle class group in an analogous fashion, modulo the reduced norm one elements. Even in the number field case, our proof is simpler than the existing one and based on the localization theorem for percolating subcategories. Finally, using class field theory as input, we interpret Hilbert’s reciprocity law (as well as a noncommutative variant) in terms of our results.</p>","PeriodicalId":50002,"journal":{"name":"Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu","volume":"23 1","pages":""},"PeriodicalIF":1.1000,"publicationDate":"2024-04-02","publicationTypes":"Journal Article","fieldsOfStudy":null,"isOpenAccess":false,"openAccessPdf":"","citationCount":"0","resultStr":null,"platform":"Semanticscholar","paperid":null,"PeriodicalName":"Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu","FirstCategoryId":"100","ListUrlMain":"https://doi.org/10.1017/s1474748024000100","RegionNum":2,"RegionCategory":"数学","ArticlePicture":[],"TitleCN":null,"AbstractTextCN":null,"PMCID":null,"EPubDate":"","PubModel":"","JCR":"Q1","JCRName":"MATHEMATICS","Score":null,"Total":0}
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Abstract

Clausen a prédit que le groupe des classes d’idèles de Chevalley d’un corps de nombres F apparaît comme le premier K-groupe de la catégorie des F-espaces vectoriels localement compacts. Cela s’est avéré vrai, et se généralise même aux groupes K supérieurs dans un sens approprié. Nous remplaçons F par une Abstract Image$\mathbb {Q}$-algèbre semi-simple, et obtenons le groupe des classes d’idèles noncommutatif de Fröhlich de manière analogue, modulo les éléments de norme réduite une. Même dans le cas du corps de nombres, notre preuve est plus simple que celle existante, et repose sur le théorème de localisation pour des sous-catégories percolées. Enfin, en utilisant la théorie des corps de classes, nous interprétons la loi de réciprocité d’Hilbert (ainsi qu’une variante noncommutative) en termes de nos résultats.

Clausen predicted that Chevalley’s idèle class group of a number field F appears as the first K-group of the category of locally compact F-vector spaces. This has turned out to be true and even generalizes to the higher K-groups in a suitable sense. We replace F by a semisimple Abstract Image$\mathbb {Q}$-algebra and obtain Fröhlich’s noncommutative idèle class group in an analogous fashion, modulo the reduced norm one elements. Even in the number field case, our proof is simpler than the existing one and based on the localization theorem for percolating subcategories. Finally, using class field theory as input, we interpret Hilbert’s reciprocity law (as well as a noncommutative variant) in terms of our results.

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克劳森预言,数域 F 的切瓦利伊德尔类群似乎是局部紧密向量空间 F 范畴中的第一个 K 群。这已被证明是正确的,甚至在适当的意义上可以推广到更高的 K 群。我们用一个$\mathbb {Q}$半不单纯代数来代替 F,并以类似的方式得到非交换惰性类的弗洛里希群,模数为还原规范一的元素。即使在数域情况下,我们的证明也比现有的证明简单,而且依赖于渗滤子范畴的局部化定理。克劳森预言,切瓦利的数域 F idel 类群会作为局部紧凑 F 向量空间类别的第一个 K 群出现。事实证明这是正确的,甚至在适当的意义上可以推广到更高的 K 群。我们用一个半简单的 $\mathbb {Q}$-algebra 来代替 F,并以类似的方式得到弗洛里希的非交换惰类群,模数为减少的规范一元素。即使在数域情况下,我们的证明也比现有证明简单,而且是基于渗流子范畴的局部化定理。最后,利用类场理论作为输入,我们用我们的结果解释了希尔伯特互易律(以及非交换变体)。
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