科拉茨猜想与非阿基米德谱理论 - 第一部分 - 算术动态系统与非阿基米德值分布理论

Abstract Let \(q\) be an odd prime, and let \(T_{q}：\(T_{q}:rightarrow/mathbb{Z}/)是缩短的（qx+1）映射，如果（n）是偶数，则定义为（T_{q}left(n/right)=n/2）；如果（n）是奇数，则定义为（T_{q}left(n/right)=left(qn+1/right)/2）。这些映射的动力学研究因其难度而臭名昭著，其中 \(T_{3}\) 的动力学特征是著名的科拉茨猜想的另一种表述。这一系列论文通过超计量分析中一个被忽视的领域提出了研究这种算术动力系统的新范式，我们称之为 \(left(p,q\right)\)-adic analysis，即研究从 \(p\)-adics 到 \(q\)-adics 的函数，其中 \(p\) 和 \(q\) 是不同的素数。在本文，也就是第一篇论文中，我们用 \(T_{q}\) 映射作为更一般理论的玩具模型，对于每个奇素数 \(q\)，我们构造了一个函数 \(\chi_{q}:\mathbb{Z}_{2}\rightarrow\mathbb{Z}_{q}\)（\(T_{q}\) 的 Numen），并证明了对应原理（CP）：\(x\in\mathbb{Z}\backslash\left\{ 0\right\}\) 是（T_{q}\）的周期点，当且仅当（\mathfrak{z}\in\mathbb{Z}_{2}\backslash\left\{ 0、1,2,\ldots\right}\) 所以（\chi_{q}\left(\mathfrak{z}\right)=x\ ）。此外，如果 \(\mathfrak{z}\in\mathbb{Z}_{2}\backslash\mathbb{Q}\) 使得 \(\chi_{q}\left(\mathfrak{z}\right)\in\mathbb{Z}\)、那么在（T_{q}）下 \(chi_{q}left(\mathfrak{z}right)\)的迭代趋向于（+\infty\）或（-\infty\）。