$$p$$ -阿迪克-韦尔奇边界和 $$p$$ -阿迪克-扎乌纳猜想

Abstract Let \(p\) be a prime.对于 \(d\in \mathbb{N}\), 让 \(\mathbb{Q}_p^d\) 是标准的 \(d\)-dimensional p-adic Hilbert 空间。让 \(m \in \mathbb{N}\) 和 \(\text{Sym}^m(\mathbb{Q}_p^d)\) 是对称 m-tensors 的 \(p\)-adic Hilbert 空间。我们证明以下结果。让 \(\{tau_j\}_{j=1}^n\) 是 \(\mathbb{Q}_p^d\) 中的一个集合，满足 (i) \(\langle \tau_j、\(ii) there exists \(b \in \mathbb{Q}_p) satisfying \(\sum_{j=1}^{n}\langle x, \tau_j\rangle \tau_j =bxx\) for all \( x \in \mathbb{Q}^d_p.\Then $$\begin{aligned}\max_{1\leq j,k \leq n, j \neq k}\{|n|, |\langle \tau_j, \tau_k\rangle|^{2m}\}\geq \frac{|n|^2}{left|{d+m-1 \choose m}\right| }.\end{aligned}$$(0.1) 我们称不等式 (0.1) 为韦尔奇 [IEEE Transactions on Information Theory, 1974] 所得到的韦尔奇边界的 \(p\)-adic 版本。不等式（0.1）不同于克里希纳（M. Krishna）最近得到的非阿基米德韦尔奇边界，因为我们不能从一个边界推导出另一个边界。我们提出了 \(p\)-adic Zauner 猜想。