Граничні теореми гіллястого процесу з міграцією

Abstract

Окремим розділом випадкових процесів, що вивчає розмноження і перетворення певних частинок є теорія гіллястих процесів. Основним математичним припущенням, що виділяє гіллясті процеси серед інших випадкових процесів є перетворення частинок незалежно одне від одного. А самі закони розмноження і перетворення частинок піддаються певним закономірностям, у яких головну роль відіграє випадковість. Гіллясті процеси часто використовуються як математичні моделі різних реальних процесів. Крім того, гіллясті процеси можуть описувати динаміку популяції частинок різної природи, зокрема, це можуть бути фотони, електрони, нейтрони, протони, атоми, молекули, клітини, мікроорганізми, рослини, тварини, особини, ціни, інформація тощо. Цей список можна продовжувати. Оскільки сторонні фактори часто існують, існує потреба вивчити різні модифікації цього процесу. Серед них є гіллясті процеси з імміграцією, еміграцією або поєднанням двох процесів, а саме процесів з міграцією у випадку дискретного або неперервного часу. Таким чином, гіллясті процеси мають досить широке застосування у різних науках. У даній статті досліджується однорідний гіллястий процес з одним типом частинок, міграцією та неперервним часом µ(t), t ∈ [0, ∞). Припускається, що в початковий момент часу в системі знаходиться одна частинка. Процес задається перехідними ймовірностями, що визначаються інтенсивностями розмноження частинок, імміграції та еміграції частинок. Основним результатом статті є граничні теореми для даної моделі процесу. Отримано граничну теорему для математичного сподівання у випадку докритичного процесу. Також отримано граничну теорему для критичного процесу.