Multiplicative Invariant Fields of Dimension ≤6

Abstract

The finite subgroups of G L 4 ( Z ) GL_4(\mathbb {Z}) are classified up to conjugation in Brown, Büllow, Neubüser, Wondratscheck, and Zassenhaus (1978); in particular, there exist 710 710 non-conjugate finite groups in G L 4 ( Z ) GL_4(\mathbb {Z}) . Each finite group G G of G L 4 ( Z ) GL_4(\mathbb {Z}) acts naturally on Z ⊕ 4 \mathbb {Z}^{\oplus 4} ; thus we get a faithful G G -lattice M M with r a n k Z M = 4 \mathrm {rank}_\mathbb {Z} M=4 . In this way, there are exactly 710 710 such lattices. Given a G G -lattice M M with r a n k Z M = 4 \mathrm {rank}_\mathbb {Z} M=4 , the group G G acts on the rational function field C ( M ) ≔ C ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) \mathbb {C}(M)≔\mathbb {C}(x_1,x_2,x_3,x_4) by multiplicative actions, i.e. purely monomial automorphisms over C \mathbb {C} . We are concerned with the rationality problem of the fixed field C ( M ) G \mathbb {C}(M)^G . A tool of our investigation is the unramified Brauer group of the field C

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维数≤6的乘不变域

在Brown，Büllow，Neubüser，Wondratscheck和Zassenhaus（1978）中，对G L 4（Z）GL_4（\mathbb｛Z｝）的有限子群进行了共轭分类；特别地，在G L4（Z）GL_4（\mathbb｛Z｝）中存在710 710个非共轭有限群。G L4（Z）GL_4（\mathbb｛Z｝）的每个有限群G G自然作用于ZŞ4\mathbb{Z｝^｛\oplus 4｝；因此我们得到了一个忠实的G G-格M M，其中r a n k Z M=4{rank}_\mathb{Z}M=4。通过这种方式，正好有710 710个这样的晶格。给定一个具有r a n k Z M=4\ mathrm的G G-格M M{rank}_\mathbb｛Z｝M=4，群G G通过乘法作用作用于有理函数域C（M）≔C（x1，x2，x3，x4）\mathbb｛C｝（M）\ mathbb{C}（x_1，x_2，x_3，x_4），即C\mathbb｛C｝上的纯单体自同构。我们讨论了固定域C（M）G\mathbb｛C｝（M）^G的合理性问题。我们研究的一个工具是域C

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