Про частково впорядковані множини шостого порядку, що мають надсуперкритичний MM-тип

Abstract

Зображення ч. в. множин (частково впорядкованих множин) ввели Л. А. Назароваi А. В. Ройтер в 1972 р. В тому ж роцi М. М. Клейнер довiв, що ч. в. множинаSмаєскiнченний зображувальний тип тодi i лише тодi, коли вони не мiстить ч. в. пiдмно-жин вигляду K1= (1,1,1,1), K2= (2,2,2), K3= (1,3,3), K4= (1,2,5) i K5= (N,4). Цi ч. в. множин називаються критичними ч. в. множин щодо скiнченностстi типу(в тому сенсi, що це мiнiмальнi ч. в. множин з нескiнченною кiлькiстю нерозкладних зображень, з точнiстю до еквiвалентностi) або ч. в. множинами Клейнера. У 1974 роцi Ю. А. Дрозд довiв, що ч. в. множинаSмає скiнченний зображувальний тип тодi iлише тодi, коли її квадратична форма Тiтса   є слабко додатною (тобто додатною на множинi невiд’ємних векторiв). Отже, ч. в. множини Клейнера є критичними щодо слабкої додатностi квадратичної форми Тiтса,i iнших таких ч. в. множин немає (з точнiстю до iзоморфiзму). У 2005 роцi автори довели що ч. в. множин є критичною щодо додатностi квадратичної форми Титса тодii лише тодi, коли вона є мiнiмаксно iзоморфна деякiй ч. в. множинi Клейнера. Подiбну ситуацiю маємо з ч. в. множинами ручного зображувального типу. У 1975р. Л. А. Назарова довела, що ч. в. множинаSє ручною тодi i лише тодi, коли вона не мiстить ч. в. пiдмножин вигляду N1= (1,1,1,1,1), N2= (1,1,1,2), N3= (2,2,3), N4= (1,3,4), N5= (1,2,6) i (N,5). Вона назвала цi ч. в. множини суперкритичними; вони є критичними щодо слабкої невiд’ємностi квадратичної форми Тiтса, i iншихтаких ч. в. множин немає. У 2009 роцi автори довели, що ч. в. множина є критичною щодо невiд’ємностi квадратичної форми Тiтса тодi i лише тодi, коли вона мiнiмаксноiзоморфна деякiй суперкритичнiй ч. в. множинi. Перший автор запропонував ввести ч. в. множини (названi надсуперкритичними),якi вiдрiзняються вiд суперкритичних ч. в. множин в тiй самiй мiрi, що i останнi вiд-рiзняються вiд критичних. Серед цих ч. в. множин є чотири найменшого порядку,а саме 6. У цiй статтi ми описуємо всi ч. в. множини мiнiмаксно еквiвалентнi їм, i вивчаємо деякi їхнi комбiнаторнi властивостi. Важливiсть вивчення мiнiмаксно iзоморфних ч. в. множин визначається тим фактом, що їх квадратичнi форми Тiтса Z-еквiвалентнi, а сам мiнiмаксний iзоморфiзм є досить загальною конструктивно визначеною Z-еквiвалентнiстю для квадратичних форм Тiтса ч. в. множин.