Деякі властивості диференціальних, квазіпервинних та диференціально-первинних піднапівмодулів

Abstract

Поняття "диференціювання напівкільця" традиційно визначають як адитивне відображення, яке задовольняє правило Лейбніца, тобто відображення δ: R →R називають диференціюванням напівкільця R, якщо  δ (a + b) = δ (a)+δ (b) і δ (ab) = δ (a) b + aδ (b) для будь-яких a,b ∈ R. Поняття квазіпервинний ідеал" було вперше введено в комутативних диференціальних кільцях, тобто комутативних кільцях, які розглядаються разом із заданим на них диференціюванням, як диференціальний ідеал, максимальний серед диференціальних ідеалів, які не перетинаються із деякою мультиплікативно-замкненою підмножиною кільця. Піднапівмодуль P напівмодуля M називають первинним, якщо для будь-якого ідеалу I напівкільця R та будь-якого піднапівмодуля N напівмодуля M з IN ⊆ P випливає N ⊆ P або I ⊆ (P : M). Диференціальний піднапівмодуль P напівмодуля M називають "диференціально-первинний піднапівмодуль", якщо для будь-яких r ∈ R, m ∈ M, k ∈ N0, rm(k) ∈ P випливає, що r ∈(P : M) або m ∈P. Ця стаття присвячена дослідженню понять "диференціальний піднапівмодуль", "диференціально-первинний піднапівмодуль", "квазіпервинний піднапівмодуль" в диференціальних напівмодулях (які означаються як напівмодулі разом із диференціюванням, заданому на них, яке узгоджується з відповідним диференціюванням напівкільця). Метою статті є дослідити деякі властивості таких піднапівмодулів, показати взаємозв'язки між "квазіпервинними піднапівмодулями" та "диференціально-первинними" "піднапівмодулями" у випадку диференціальних напівмодулів, що задовольняють умову обриву зростаючих ланцюгів диференціальних піднапівмодулів. Стаття складається з двох основних частин. У першій частині автори досліджують деякі властивості диференціальних піднапівмодулів та відповідних диференціальних ідеалів, а також наводить деякі приклади таких піднапівмодулів. У другій частині статті розглядаються ланцюги зв'язки, що існують між поняттями "квазіпервинний піднапівмодуль" та "диференціально-первинний піднапівмодуль". Встановлено, що "диференціальний піднапівмодуль" N напівмодуля M є "диференціально-первинний піднапівмодуль" тоді і тільки тоді, коли N є "квазіпервинний піднапівмодуль" диференціального напівмодуля M, який задовольняє умову обриву зростаючих ланцюгів диференціальних піднапівмодулів.