New construction of algebras as quotients

Abstract

  In this article we have presented a new approach to define algebras using for a natural number k ≥ 2, the set of natural numbers in base k, none of their digits equal to zero. The study was developed in the context of vector R -spaces and the vector space definitions of the formal multiples of any element x of the field R, of the direct sum of vector spaces and binary operations on vector spaces were used. The results obtained were the construction of a vector space denoted by V, on the basis of the particular set of natural numbers in base k mentioned, which allowed novel ways of defining the well-known and very important algebras of complex numbers and that of quaternions on R as quotients of ideals of V, for suitably chosen ideals I. With this new approach and with the help of the vector spaces V, known algebras can be presented in a different way than those found up to now, by using certain ideals of those spaces in their quotient form. The spaces V can be over any field K and other algebras such as Clifford algebras can be constructed using this procedure.   Keywords: Algebras, Quotients in algebras, Complex numbers and quaternions as quotients of algebras.   Abstract En este artículo se ha presentado un nuevo enfoque para definir álgebras usando para un número natural k ≥ 2, el conjunto de números naturales en base k, ninguno de sus dígitos iguales a cero. El estudio se desarrolló en el contexto de los R-espacios vectoriales y se usaron las definiciones de espacio vectorial de los múltiplos formales de un elemento cualquiera x del cuerpo R, de la suma directa de espacios vectoriales y operaciones binarias sobre espacios vectoriales. Los resultados obtenidos fueron la construcción de un espacio vectorial denotado por V, sobre la base del particular conjunto de números naturales en base k mencionado, que permitió novedosas formas de definir las conocidas y muy importantes álgebras de los números complejos y la de los cuaterniones sobre R como cocientes de ideales de V, para ideales I convenientemente elegidos. Con este nuevo enfoque y con la ayuda de los espacios vectoriales V se pueden presentar álgebras conocidas de manera distinta a las encontradas hasta ahora, al usar en su forma de cociente ciertos ideales de esos espacios V. Los espacios V pueden ser sobre cualquier cuerpo K y otras álgebras como las álgebras de Clifford se pueden construir usando este procedimiento.   Palabras claves: Algebras, cocientes en álgebras, Números complejos y quaterniones como cocientes en álgebras.