On endpoint regularity criterion of the 3D Navier–Stokes equations

Abstract

Let $(u, \pi)$ with $u=(u_1,u_2,u_3)$ be a suitable weak solution of the three dimensional Navier-Stokes equations in $\mathbb{R}^3\times [0, T]$. Denote by $\dot{\mathcal{B}}^{-1}_{\infty,\infty}$ the closure of $C_0^\infty$ in $\dot{B}^{-1}_{\infty,\infty}$. We prove that if $u\in L^\infty(0, T; \dot{B}^{-1}_{\infty,\infty})$, $u(x, T)\in \dot{\mathcal{B}}^{-1}_{\infty,\infty})$, and $u_3\in L^\infty(0, T; L^{3, \infty})$ or $u_3\in L^\infty(0, T; \dot{B}^{-1+3/p}_{p, q})$ with $3

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三维Navier-Stokes方程的端点正则性准则

设$(u, \pi)$和$u=(u_1,u_2,u_3)$为$\mathbb{R}^3\times [0, T]$中三维Navier-Stokes方程的合适弱解。用$\dot{\mathcal{B}}^{-1}_{\infty,\infty}$表示$\dot{B}^{-1}_{\infty,\infty}$中的$C_0^\infty$的闭包。我们证明了如果$u\in L^\infty(0, T; \dot{B}^{-1}_{\infty,\infty})$, $u(x, T)\in \dot{\mathcal{B}}^{-1}_{\infty,\infty})$, $u_3\in L^\infty(0, T; L^{3, \infty})$或$u_3\in L^\infty(0, T; \dot{B}^{-1+3/p}_{p, q})$与$3

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