Sobre sucesiones de Sidon

Abstract

Estudiamos los subconjuntos de números reales con la propiedad de que todas las sumas de dos elementos son distintos, es decir que si 𝑎𝑖 + 𝑎𝑗= 𝑎𝑖′+ 𝑎𝑗′ entonces se verifica la igualdad {𝑎′}. A estos conjuntos los llamaremos conjuntos de Sidon. El problema es saber cuál es el mayor número de elementos que puede tener un conjunto de Sidon 𝑖, 𝑎𝑗} = {𝑎𝑖′, 𝑎𝑗 en el intervalo [1, 𝑁]. Presentamos ejemplos que evidencian la necesidad de conocer el tamaño del intervalo [1, 𝑁] donde se va a ubicar el conjunto de Sidon para saber el tamaño 𝐹(𝑁) del conjunto de Sidon. Ruzsa I. Z. (1998) demostró la existencia de una sucesión infinita de Sidon tal que su tamaño 𝐵(𝑁)> 𝑁√2−1+𝑜(1). En este trabajo rehacemos detalladamente la demostración de Ruzsa, introduciendo en la prueba una modificación sustancial, al sustituir las sucesiones {log 𝑝} por la sucesión de los argumentos de los enteros de Gauss 𝑎 + 𝑖𝑏 = 𝑝 con 0 < 𝑎 < 𝑏, 𝑎 y 𝑏 enteros y 𝑝 primo.     Palabras clave: Conjuntos de Sidon, Sumas de dos elementos. 𝑝, 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜   Abstract We study the sub-sets of real numbers with the property that all sums of two elements is different, namely 𝑎+𝑎𝑗′ then the equation {𝑎′} is verified. We will call these sets Sidon sets. The problem is knowing the maximum number of elements that a Sidon set can contain in the interval [1, 𝑁]. We present examples that show the need 𝑖, 𝑎𝑗} = {𝑎𝑖′, 𝑎𝑗 of knowing the size of the interval [1, 𝑁] where the Sidon set will be located to know the size 𝐹(𝑁) of the Sidon set. Ruzsa I. Z. (1998) proved the existence of an infinite Sidon succession such that its size 𝐵 ( 𝑁 ) > 𝑁. In this paper, we rewrite Ruzsa proof in detail, introducing a substantial modification in the proof, by substituting the successions for the succession of the arguments of Gauss integers 𝑎 + 𝑖𝑏 = 𝑝 with 0 < 𝑎 < 𝑏, 𝑎 and 𝑏 integers and 𝑝 prime. {log 𝑝} 𝑝, 𝑟𝑖𝑚𝑜     Keywords: Sets of Sidon, Sums of two elements.