FREE LONGITUDINAL VIBRATIONS OF THE ROD WITH CONCENTRATED MASS

Постановка задачи. Рассматриваются продольные колебания вертикального стального стержня постоянного сечения с сосредоточенной массой на конце. Это сооружение находится вблизи эпицентра землетрясений, где сейсмические волны имеют вертикальное направление, наиболее опасное для прочности стержня. При выводе уравнения продольных колебаний предполагается, что гипотеза плоских поперечных сечений справедлива. Статическая часть деформаций не учитывается ввиду малости. Математическая модель колебаний состоит из основного дифференциального уравнения и краевых условий. Для решения задачи используются методы разделения переменных и конечных разностей. Дифференциальное уравнение и краевые условия преобразуются в систему алгебраических уравнений, по которым определены первые собственные значения и формы колебаний. Problem Statement. Longitudinal vibrations of a vertical steel rod of constant cross section with a concentrated mass at the end are considered. This structure is located near the epicenter of earthquakes, where seismic waves have a vertical direction, the most dangerous for the strength of the rod. When deriving the equation of longitudinal vibrations, it is assumed that the hypothesis of flat cross sections is valid. The static part of the deformations is not taken into account due to their smallness. The mathematical model of oscillations consists of the main differential equation and boundary conditions. To solve the problem, methods of separation of variables and finite differences are used. The differential equation and boundary conditions are transformed into a system of algebraic equations, which are used to determine the first eigenvalues and vibration modes.