O desenvolvimento dos instrumentos e conceitos lógico-matemáticos do Primeiro Teorema da Incompletude de Kurt Gödel

O artigo busca elucidar as investigações e avanços na Matemática e na Lógica associadas às concepções filosóficas que culminaram no Primeiro Teorema da Incompletude de Kurt Gödel. Para isso, faremos uma abordagem histórica e conceitual da Matemática da segunda metade do século XIX até a primeira metade do século XX, indicando elementos e instrumentos matemáticos desenvolvidos para solução de problemas, assim como pressupostos e compromissos filosóficos que acompanharam as atividades voltadas à formalização e fundamentação da lógica matemática contemporânea que auxiliaram Gödel a elaborar sua demonstração e esclarecer as limitações de sistemas formais com o mínimo de Aritmética. Desta maneira, trataremos de como os problemas a partir do estabelecimento das geometrias não-euclidianas e da Teoria de Conjuntos culminaram em diferentes linhas de pesquisa voltadas aos fundamentos da Matemática, assim como o descobrimento de paradoxos e a controversa noção do Infinito demandaram métodos finitários e recursivos, assim como instrumentos criados para demonstrações matemáticas neste período auxiliaram no surgimento da metamatemática até a prova de Gödel. Ao final, faremos uma síntese geral e reflexão sobre este empreendimento intelectual no progresso da própria investigação matemática.