Локальні майже-кільця на елементарних абелевих групах порядку p^3

Майже-кільця виникають природним чином при вивченні систем нелінійних відображень і вивчаються протягом багатьох десятиліть. Основні визначення та багато результатів стосовно майже-кілець можна знайти, наприклад, у [G.~Pilz. Near-rings. The theory and its applications. North Holland, Amsterdam, 1977]. Майже-кільця - це узагальнення кілець в тому сенсі, що додавання не обов'язково є комутативним і передбачається лише один дистрибутивний закон. Очевидно, що кожне асоціативне кільце є майже-кілець, і кожна група є адитивною групою майже-кільця, але не обов'язково майже-кільця з одиницею. Питання про те, яка група може бути адитивною групою майже-кільця з одиницею, далеке від вирішення. Майже-кільце R з одиницею називається локальним, якщо підгрупа усіх необоротних елементів із R утворює підгрупу адитивної групи R. Дослідження локальних майже-кілець було ініційовано Мексоном (1968), який визначив ряд їх основних властивостей і, зокрема, довів, що адитивна група нуль-симетричного локального майже-кільця є p-групою. Мексон (1968) описав усі неізоморфні нуль-симетричні локальні майже-кільця з нециклічною адитивною групою порядку p2, які не є майже-полями. Мексон у 1968 р. також показав, що кожна нециклічна абелева p-група порядку pn>4 є адитивною групою нуль-симетричного локального майже-кільця, яке не є кільцем. Список усіх локальних майже-кілець порядку не більше 31 можна отримати з пакету SONATA (https://gap-packages.github.io/sonata/) системи комп'ютерної алгебри GAP (https://www.gap-system.org/). Однак класифікація майже-кілець вищих порядків вимагає набагато складніших обчислень. Для локальних майже-кілець вони були реалізовані в новому GAP-пакеті LocalNR (https://gap-packages.github.io/LocalNR). Поточна версія (ще не розповсюджена за допомогою GAP) містить 37599 локальних майже-кілець порядку не більше 361, за винятком порядків 128, 256 і деяких порядків 32, 64 і 243. Ця робота присвячена дослідженню локальних майже-кілець з елементарними абелевими адитивними групами порядку p3.