Уточненные оценки числового радиуса, основанные на декартовом разложении

Abstract

Получены различные нижние оценки числового радиуса $w(A)$ ограниченного линейного оператора $A$, определенного на комплексном гильбертовом пространстве, которые уточняют существующую оценку $w^2(A)\geqslant \frac{1}{4}\|A^*A+AA^*\|$. В частности, показано, что для $r\geqslant 1$ $$ \tfrac{1}{4}\|A^*A+AA^*\|\geqslant\tfrac{1}{2}( \tfrac{1}{2}\|\operatorname{Re}(A)+\operatorname{Im}(A)\|^{2r}+\tfrac{1}{2}\|\operatorname{Re}(A)-\operatorname{Im}(A)\|^{2r})^{1/r} \leq w^{2}(A), $$ где $\operatorname{Re}(A)$ и $\operatorname{Im}(A)$ - соответственно вещественная и мнимая части оператора $A$. Кроме того, получены верхние оценки для $w^2(A)$, уточняющие хорошо известную оценку $w^2(A)\leq \frac{1}{2}(w(A^2)+\|A\|^2)$, а также критерии выполнения равенств $w(A)=\frac12\|A\|$ и $w(A)=\frac{1}{2}\sqrt{\|A^*A+AA^*\|}$.