Параметрическая иерархия Кортевега-де Фриза и гиперэллиптические сигма-функции

Abstract

В работе определена параметрическая иерархия Кортевега-де Фриза, зависящая от бесконечного набора градуированных параметров $a = (a_4,a_6,…)$. Показано, что для любого рода $g$ гиперэллиптическая функция Клейна $\wp_{1,1}(t,\lambda)$, определенная на основе многомерной сигмa-функции $\sigma(t, \lambda)$, где $t = (t_1, t_3,…, t_{2g-1})$, $\lambda = (\lambda_4, \lambda_6,…, \lambda_{4 g + 2})$, задает решение этой иерархии, в которой параметры $a$ заданы в виде полиномов от параметров $\lambda$ сигма-функции. Доказательство использует результаты о семействе операторов, введенных В. М. Бухштабером и С. Ю. Шориной. Это семейство состоит из $g$ дифференциальных операторов третьего порядка от $g$ переменных. Такие семейства определены для всех $g \geqslant 1$, в каждом из них операторы коммутируют попарно, а также коммутируют с оператором Шрeдингера. В настоящей работе описана связь этих семейств с параметрической иерархией Кортевега-де Фриза. Построено аналогичное бесконечное семейство операторов третьего порядка от бесконечного набора переменных. Полученные результаты распространены на случай такого семейства.