Двумерные диффузионные ортогональные многочлены, упорядоченные по взвешенной степени

Abstract

Мы рассматриваем следующую задачу: описать все тройки $(\Omega,g,\mu)$, $\mu=\rho dx$, где $g= (g^{ij}(x))$ - (ко)метрика, ассоциированная с симметричным дифференциальным оператором второго порядка $\mathbf{L} (f) = \frac{1}{\rho}\sum_{ij} \partial_i (g^{ij} \rho \partial_j f)$, определенным на области $\Omega$ в $\mathbb{R}^d$ и таким, что существует ортонормированный базис пространства $\mathcal{L}^2(\mu)$, составленный из многочленов, являющихся собственными векторами оператора $\mathbf{L}$, причем этот базис согласован с фильтрацией пространства многочленов по некоторой взвешенной степени. В совместной работе с Д. Бакри и М. Зани эта задача была решена в размерности 2 для обычной степени. В настоящей статье эта задача решается по-прежнему в размерности $2$, но для произвольной взвешенной степени.