Lipschitz continuity of probability kernels in the optimal transport framework

Abstract

En statistique bayésienne, une propriété de continuité de la distribution a posteriori par rapport à la variable observée est cruciale puisque’elle exprime le caractère bien posé du problème, c’est-à-dire la stabilité par rapport aux erreurs de mesure dans les données. Cela nécessite essentiellement d’analyser la continuité d’un noyau de probabilité ou, de manière équivalente, d’une distribution de probabilité conditionnelle par rapport à la variable de conditionnement. Ici, nous abordons ce problème d’un point de vue théorique. Soit (X,dX) un espace métrique, et soit B(Rd) la tribu borélienne sur Rd. Soit π(·|·):B(Rd)×X→[0,1] un noyau de probabilité dominé, c’est-à-dire de la forme π(dθ|x)=g(x,θ)π(dθ) pour une fonction appropriée g:X→[0,+∞). Nous fournissons des conditions générales assurant la continuité lipschitzienne de l’application x∈X↦P(Rd) lorsque que l’espace des mesures de probabilités P(Rd) sur (Rd,B(Rd)) est muni d’une métrique issue d’un cadre de transport optimal, telle qu’une métrique de Wasserstein. En particulier, nous prouvons des bornes supérieures explicites pour la constante de Lipschitz en termes de fonctionnelles d’information de Fisher et de constantes de Poincaré pondérées, obtenues en exploitant la formulation dynamique du transport optimal. Enfin, nous donnons quelques illustrations sur des classes remarquables de noyaux de probabilité, et nous appliquons nos résultats principaux pour améliorer certaines questions ouvertes en statistique bayésienne, traitant de l’approximation de distributions a posteriori par des mélanges et la consistance a posteriori.