论统一规范中三角多项式和指数型全函数小于统一阶的韦尔导数的伯恩斯坦-塞格不等式中的常数

Abstract The Weyl derivative (fractional derivative) \(f_{n}^{(\alpha)}\) of real nonnegative order \(\alpha\) is considered on the set \(\mathscr{T}_{n}\) of trigonometric polynomials \(f_{n}^{(\alpha)}\) of order \(n\) with complex coefficients.研究了伯恩斯坦-塞格（Bernstein-Szegő）不等式 \({\|}f_{n}^{(\alpha)}cos\theta+tilde{f}_{n}^{(\alpha)}\sin\theta{\| }leq B_{n}(\alpha,\theta)\|f_{n}\|) 在统一规范中的常数。这个不等式对于 \(\alpha\geq 1\) 已经有了很好的研究：G. T. Sokolov 在 1935 年证明，对于所有 \(\theta\in\mathbb{R}\) 的常数 \(n^{alpha}\) 它是成立的。对于（0<alpha<1），关于（B_{n}(\alpha,theta)）的信息要少得多。在本文中，对于 \(0<\alpha<1\) 和 \(\theta\inmathbb{R}\) ，我们建立了极限关系 \(\lim_{n\to\infty}B_{n}(\alpha,\theta)/n^{alpha}=\mathcal{B}(\alpha,\theta)\) 。其中，\(\mathcal{B}(\alpha,\theta)\)是类似不等式中的尖锐常数，用于在实线上有界的、指数型的整个函数，最多为\(1\)。(\theta=-\pi\alpha/2\)的值对应于里兹导数，它是韦尔-塞格ő算子的一个重要特例。在这种情况下，我们推导出 \(B_{n}(\alpha)=B_{n}(\alpha,-\pi\alpha/2)\) 的精确渐近量为\(n\to\infty\) 。