The Einstein-scalar field Lichnerowicz equations on graphs

IF 4.6 Q2 MATERIALS SCIENCE, BIOMATERIALS ACS Applied Bio Materials Pub Date : 2024-06-05 DOI:10.1007/s00526-024-02737-1

Leilei Cui, Yong Liu, Chunhua Wang, Jun Wang, Wen Yang

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Abstract

In this article, we consider the Einstein-scalar field Lichnerowicz equation

$$\begin{aligned} -\Delta u+hu=Bu^{p-1}+Au^{-p-1} \end{aligned}$$

on any connected finite graph $G=(V,E)$, where A, B, h are given functions on V with $A\ge 0$, $A\not \equiv 0$ on V, and $p>2$ is a constant. By using the classical variational method, topological degree theory and heat-flow method, we provide a systematical study on this equation by providing the existence results for each case: positive, negative and null Yamabe-scalar field conformal invariant, namely $h>0$, $h<0$ and $h=0$ respectively.

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图上的爱因斯坦-标量场李奇诺维茨方程

在本文中，我们考虑在任意连通的有限图$G=(V,E)$上的爱因斯坦-标量场李奇诺维茨方程 $$begin{aligned} -\Delta u+hu=Bu^{p-1}+Au^{-p-1} \end{aligned}$$，其中 A、B、h 是 V 上的给定函数，V 上有$A\ge 0$、$A\not \equiv 0$ 和$p>；2）是一个常数。通过使用经典的变分法、拓扑度理论和热流法，我们对该方程进行了系统的研究，提供了正Yamabe-scalar场保角不变性、负Yamabe-scalar场保角不变性和空Yamabe-scalar场保角不变性三种情况下的存在结果，即分别为\(h>0$、$h<0$和$h=0$。

本文章由计算机程序翻译，如有差异，请以英文原文为准。

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