Investigation of The Numerical Solution for One Dimensional Drift-Diffusion Model in Silicon in Steady State

Abstract

The drift-diffusion model is considered as one of the most important models which is used to describe the characteristics of semiconductor devices and can be applied to wide range of applications started from micro up to nano scale devices after applying the suitable correction on it. The Poisson, continuity, and current equations are considered as the basic equations for semiconductor devices, these equations are partial differential equations, used in the drift diffusion model. These equations described the semiclassical electron and hole transport in semiconductor in the presence of uniformly applied electric field. In this paper a numerical method (finite difference method) has been used to find the solution of these equations depending on Gummel method and Scharfetter-Gummel scheme, the drift diffusion model is applied after many approximation and suitable boundary condition which has been considered for the pn diode in both equilibrium and non-equilibrium cases at room temperature, from this simulation model a MATLAB program has been prepared to obtained diode parameters as a function of distance at the junction region, these parameters are (conduction band, carrier concentration, electric field and charge density) two diode model has been tested with different doping concentration the first with NA = ND and the second with NA > ND also the diode characteristic in the forward biased is obtained. Keyword: simulation of pn diode, drift diffusion model, Gummel method. فا رجنلاا جذومنل يددعلا لحلا ءاصقتسا يئانث يف راشتنلاا pn ذ ي نوكيلسلا يف دحاو دعب را رقتسلاا ةلاح تباث يرون انا زور 1 و نيسح حلاص دمحم زاتمم * 2 1 , 2 ءايزيفلا مسق , ةفرصلا مولعلل ةيبرتلا ةيلك , لصوملا ةعماج قا رعلا ,لصوملا , صخلملا دعي فا رجنا جذومن راشتنا كميو تلاصوملا هابشا طئابن صئاصخ فصول ةمدختسملا جذامنلا مها نم ن نم عساو ىدم ىلع هقيبطت تاقيبطتلا داعبلاا ىلا )ةيوركياملا( ةقيقدلا داعبلاا نم دتمت .اهل ةبسانملا تاحيحصتلا لاخدا دعب ةيونانلا نوساوب ةلداعم ربتعت ، جذومن يف مدختست ةيئزج ةيلضافت تلاداعم يهو تلاصوملا هابشا يف ةيساسلاا تلاداعملا نم رايتلا ةلداعمو ةيرا رمتسلاا ةلداعمو فا رجنلاا هذه فصت .راشتنلاا يجراخ يئابرهك لاجم دوجو لاح يف تاوجفلاو تانورتكللإل يكيسلاكلا ةبش لاقتنلاا تلاداعملا نم .مظت لموك ةقيرط ىلع دامتعلااب تلاداعملا هذهل لولح داجيلإ )ةدودحملا قورفلا ةقيرط( ةيددع ةقيرط قيبطت ثحبلا اذه يف مت Journal of Education and Science (ISSN 1812-125X), Vol: 30, No: 1, 2021 (46-57) Downloaded from https://edusj.mosuljournals.com/ 47 رتفريش ططخمو .لموك فا رجنلاا جذومن قيبطت مت – اشتنلاا ر ، ةبسانم ةيدودح طورش مادختسابو لحلل تابيرقت ةدع ءا رجا دعب يئانث ىلع pn وتلا ةلاح يف اوتلا مدعو نزا .ةفرغلا ةرا رح ةجرد دنع نز ح جمانرب دادعإب ةاكاحم ءا رجا مت ا س و ةغلب يب MATLAB نوكيلسلا يئانثل تاملعم ىلع لوصحلاو pn نم لك ىلع لوصحلا مت ذا .ةفاسملل ةلادك ليصوتلا ةمزح ، تلاماحلا زيكرت ، لاجملا لا ةلاح يف ةفاسملل ةلادك ةنحشلا ةفاثكو يئابرهكلا امدنع يا نزاوت NA = ND امدنع يا نزاوتلا مدع ةلاح يفو NA > ND .نيتلاحلا نيب ةنراقملا تمتو :ةلادلا تاملكلا يئانث ةاكاحم pn نا جذومن ، فارج نا .لموك ةقيرط ،راشت ةمدقملا ةيساسا ةزيكر تلاصوملا هابشا دعت لا ةروثو ةيجولنكتلا تا روطتلا يف ، تامولعم طئابن يف رمتسملاو ريبكلا روطتلل ةجيتنو .تلااجملا عيمج يف تلاصوملا هابشا . ةيرظنلا تاسا ردلا ترهظ ةيبيرجتلا تاسا ردلا ةا زاومب ذا ةجذمنلاو ةيددعلا قرطلاو ةاكاحملا تبعل اسا ردلا يف ةفلكلاو دهجلا ليلقتل كلذو تلاصوملا هابشا طئابن ءادا ريوطت يف مهملا رودلا ةيلمعلا ت [1-3] دمتعتو . يف ةاكاحملا تلاصوملا هابشا تاسا رد ساسلأاب ىلع ةيكرح ةعيبطو تلاصوملا هابشا ءايزيف يف ةيرظنلا سسلاا ةنحشلا تلاماح هابشا يف ف ريبكلا روطتلا عمو دوقع ةثلاث ذنم .لصوملا هبش يف بئاوشلا ةفاثكو عونو لصوملا هبشل ةمزحلا لكش ىلا ةفاضا تلاصوملا ي هابشا طئابنل ةيددعلا ةاكاحملا تحبصا ةيددعلا قئا رطلاو تابساحلا تلااجم ءاملعلاو نيثحابلل ةيوق ةيلمع ةادا تلاصوملا [4] ذا . امم ونانلا دودح ىلا طئابنلا مجح صيلقت ةيحان نم تا روطت تزرب أ ةديدع تلايدعت تلخدا ثيح مكلا كيناكيم لاجم يف ةاكاحملا لخد لا تايرظنلا ىلع ةدئاس لاخدإب لاو ةيكيسلاكلا هبش نامزتلوب ةلداعم ىلع ةصاخ يمكلا حيحصتلا جذومن لثم ىرخلاا جذامن كيمنيدورديهلا جذومنو فا رجنا راشتنا مت ذا اهيلع ةيمكلا تاحيحصتلا لاخدا [5,6] . فصت يتلا ةمهملا تلاداعملا نم ةيرا رمتسلاا تلاداعم يه تلاصوملا هابشا طئابن تانورتكللإل ةلداعمو تاوجفلاو نوساوب Poisson Equation و ديلوتلاو داحتلاا تلاداعم يوحت يتلا رايتلا تلاداعم تانورتكللإل تاوجفلاو [7] . تلاداعملا هذهو يه ةيلضافت تلاداعم ةيطخ ريغ ةيئزج ةلوهجم يكيتاتسورهكلا دهجلاو تاوجفلاو تانورتكللاا ةفاثك اهيف نوكت [3] ، دعلا قئا رطلا تروطت هذه لحل ةيد اعملا ةقيرط يه قئا رطلا هذه زربا نمو ةيددعلا بيلاسلااو قئا رطلاب ريبكلا روطتلاو بوساحلا تاغل يف مدقتلل ةجيتن ةثلاثلا تلاد Gummel ططخمو Scharfetter-Gummel [8-10] . و ةجيتن صيلقت يف لصاحلا روطتلا بأ نم فواخم ترهظ طئابنلا داع جذومن ةحص مدع فا رجنا ا راشتن طئابنلا هذه لخاد نامزلاو ناكملا عم ريغتت يتلاو ةيلاعلا ةيئابرهكلا تلااجملا دوجو عم ذا ريوطت مت ىرخا قرط ةفاضإب نامزتلوبل لاقتنلاا ةلداعم ىلا ةديدج دودح روهظو قئا رط ةيكيمنيدورديهلا ةححصملا [11,12] و قئا رط ل لح راك يتنوم ةقيرطب نامزتلوبل لاقتنلاا ةلداعم ول [13] و ةقيرط ليدعت فا رجنا راشتنا اهقيبطت ضرغل اهيلع ةيمكلا تاحيحصتلا عضوو ىلع ةيونانلا تلاصوملا هابشا طئابن [14] . ةلداعم قاقتشاب انمق ثحبلا اذه يف نوساوب لاح يف ةيرا رمتسلاا ةلداعمو يت نزاوتلا مدعو نزاوتلا قيبطت مث نمو تلاداعملا هذه لحل جذومن فا رجنا ا راشتن للاخ نم دادعا جمانرب ةغلب ( MATLAB و ) يف جذومنلا قيبطت مت يئانثلا ةاكاحم p-n junction ل لاح يت و نزاوتلا مدع نزاوتلا دحاولا دعبلا يف انمدختساو ططخم رتفريش لموك ( Scharfetter-Gummel scheme ريدقتل ايلاثم دعي يذلا ) تلاصوملا هابشا تلاداعم تايساسا اهنلأ ضرتفت شملا نا نيب ةتباث يه دهجلل ةيئزجلا ةقت لا ةبسنلاب نكلو )دقعلا( ةلصفنملا طاقن ةلداعم قاقتشا مت تلاماحلا زيكرتل يتلا ةيرا رمتسلاا دقعلا نيب ريبك لكشب فلتخت اهنا حضوت . Journal of Education and Science (ISSN 1812-125X), Vol: 30, No: 1, 2021 (46-57) Downloaded from https://edusj.mosuljournals.com/ 48 فا رجنلاا جذومن راشتنلاا ىنبي فا رجنلاا جذومن راشتنلاا ىلع تلاصوملا هابشا يف لا نم ةعومجم م نمضتت تلاداع [13,15-17] : 1 وب ةلداعم ا نوس Poisson equation) ) ∇. ε∇V = −q(p − n + ND + −NA −) (1) لثمت ذا ε ، ةيذوفنلا V ،يئابرهكلا دهجلا p و n مجحلا ةدحول تانورتكللااو تاوجفلا ةفاثك ، ND طتلا ةفاثك ونلا يف ميع ع n و NA عونلا يف ميعطتلا ةفاثك p . 2 ( ةيرا رمتسلاا ةلداعم Continuity equations ) dn dt = 1 q ∇. Jn + Un (2) dp dt = − 1 q ∇. Jp + Up (3) نا ثيح q ،نورتكللاا ةنحش Jn تانورتكللاا رايت ةفاثك ، Jp رايت ةفاثك تاوجفلا ، Un دلوت ةلصحم و تانورتكللال داحتا تاوجفلل دلوت − داحتا ةلصحم Up ( net generation–recombination rates ) 3 ( رايتلا ةلداعم Current equations ) Jn = qnμnE + qDn∇n (4) Jp = qpμpE − qDp∇p (5) لثمت ذا μn ، μp ةيكرحتلا تانورتكللإل ،يلاوتلا ىلع تاوجفلاو E ،طلسملا يئابرهكلا لاجملا ةدش Dn ، Dp راشتنلاا لماعم تانورتكللإل ،تاوجفلاو ∇n و ∇p تاوجفلاو تانورتكللاا زيكرت رادحنا يلاوتلا ىلع . نوكتت ةلداعم جذومن يف رايتلا نلاا فا رج نلاا راشت نم نيدح نيساسأ امه : دح وه لولاا دحلا فا رجنلاا نع جتان دحلا اذهو ميسج ةكرح لا تا نوحشم ة ل ةباجتسا لا قيبطت لاجم لا يئابرهك ، قيبطت متي امدنع لا لاجم لا جتنتو ةكرحلاب تلاماحلا ادبت تلاصوملا هابشا ربع يئابرهك كلذ نع رايت [18] . Jn = qnμnE Jp = qpμpE (6) ةفاثك فا رجنلاا رايت تانورتكللإل تاوجفلاو تاملعم عبرا ىلع دمتعت يه يئابرهكلا لاجملا E ، تلاماحلا زيكرت n و p ، ةيكرحتلا μn و μp ، رادقمو ةنحشلا q . لا اما دح وه يناثلا دح راشتنلاا نع جتان دحلا اذهو عيزوت ةيلمع ةنحشلا تلاماح زيكرتلا تاذ قطانملا نم لا لاع ي تاذ قطانم ىلا لا قئاع نود ةيلمعلا هذه تكرت اذا ضفخنملا زيكرت ، دحوم عيزوت ةياهنلا يف متيسف ةنحشلا تلاماحل [18] . Jn = qDn∇n Jp = −qDp∇p (7) فا رجنلاا جذومن راشتنلاا دحاولا دعبلا يف قيبطت متي راشتنلاا جذومن دحاو دعب يف فا رجنلاا ةلداعم مادختساب كلذو نوساوب ( 1 ) . طبترت ذا تانورتكللاا ةفاثك n تاوجفلا ةفاثكو p ، نم لكب ا ل يكيتاتسورهكلا دهج V ، و دهج هبش ( يمريف quasi-Fermi potential ) تانورتكللإل φn تاوجفلاو φp حضوم امك ةيتلاا تلاداعملاب [3,15] Journal of Education and Science (ISSN 1812-125X), Vol: 30, No: 1, 2021 (46-57) Downloaded from https://edusj.mosuljournals.com/ 49 n = ni exp ( q(V − φn) kBT ) (8) p = ni exp ( q(φP − V) kBT ) (9) تلاداعملا لثمت ذا ( 8 (و ) 9 ) تاوجفلاو تانورتكللاا زيكرت مدع ةلاح يف يلاوتلا ىلع )ةلحنملا ريغ ةلاحلا( نزاوتلا عضو نكمي تلاداعملا ( 8 (و ) 9 ) يمرف يوتسم ةللادب EF دنع يمرف يوتسمو قنلا لصوملا هبش ي Ei لبق ةيقنلا ةلاحلا يف تلاماحلا ةفاثكو بيوشتلا ni n = ni exp ( EF − Ei kBT ) = ni exp ( V VT ⁄ ) (10) p = ni exp ( Ei − EF kBT ) = ni exp (− V VT ⁄ ) (11) لثمي ذا VT يواسيو يرا رحلا دهجلا VT = kBT q ⁄ ةلداعملا نوكتو pn = ni .نزاوتلا مدعو نزاوتلا يتلاح يف ةحيحص لادبتسا م ( تاوجفلاو تانورتكللاا ةفاثك تا ريغت 10 ( و ) 11 ةلداعم يف ) نوساوب ( 1 ) ( تلاداعملا ضيوعت متي 10 و 11 ةلداعم يف ) : ىلع لصحنو نوساوب dV dx2 = − qni ε (e VT ⁄ − e VT ⁄ + C ni ) (12) ذا لثمت C = ND −NA . قورفلا ةغيص مدختسن لا دحم ( ةد finite difference ) لحل ةلداعم نوساوب نكمي ذا إ ةيلوا ةميق ءاطع دهجلل V ـل ةديدجلا ةميقلا باسحو V ةيتلاا ةغيصلا مادختساب : V = V + δ انه δ ةميقلاو ةديدجلا ةميقلا نيب قرفلا لثمت ـل ةقباسلا V ، ( ةلداعم حصت 12 ) ةديدجلا ةميقلا ىلع V جلا ميسقت نكميو ده ـل ةيناثلا ةقتشملا ىطعت ثيح ةلصفنم دقع ىلا V :يلي امك dV dx2 = Vj+1 new − 2Vj new + Vj−1 new h2 (13) انه j و مسو لثمت h ه ي ةفاسملا نم نيتيلاتتم نيتميق نيب ةفاسملا x ، ( ةلداعم ضيوعت دعب نوساوب ةلداعم لح نكمي 13 يف ) ( ةلداعملا 12 :ةيتلاا ةغيصلا ىلع لصحنو دودحلا بيترتو ) Vj+1 new − [2 + ( qni h 2 εVT )(ej old VT ⁄ + ej old VT ⁄ )] Vj new + Vj−1 new = − qni h 2 ε (ej old VT ⁄ − ej old VT ⁄ + C ni ) − qni h 2 εVT (ej old VT ⁄ + ej old VT ⁄ )Vj old (14) ( ةيرا رمتسلاا ةلداعم ةغايص نكمي 2 ) تانورتكللإل ىلع ضا رتفا را رقتسلاا ةلاح ،نمزلا عم ريغتت لا تلاماحلا ةفاثك نا (steady state) لا يف ثيح دحاولا دعب dn dt = 0 نا يا dJnx dx = −qUn (15) ةقيرط مدختسا متي ( ةلداعملا ليثمتل ةددحملا قورفلا 15 ةيتلاا ةقيصلا ىلع لصحنل ) J i+ 1 2 n − J i− 1 2 n h = −qUn (16) ريشي يولعلا زيمرتلا عونلا ىلع ةلادلل n وا p ةلادلل يلفسلا زيمرتلا اما ىلا ريشيف لا دقع . ططخم ربتعي رتفريش لموك ( ScharfetterGummel رايتلا ةميق ىلع لوصحلا نكمي ثيح تلاداعملا هذه لحل ةيلاثم ةقيرط ) [3,19,20] . Journal of Education and Science (ISSN 1812-125X), Vol: 30, No: 1, 2021 (46-57) Downloaded from https://edusj.mosuljournals.com/ 50 J i− 1 2 n = qD i− 1 2 n h [niB ( Vi − Vi−1 VT ) − ni−1B ( Vi−1 − Vi VT )] (17) J i+ 1 2 n = −qD i+ 1 2 n h [ni+1B ( Vi+1 −