A simpler proof for the dimension of the graph of the classical Weierstrass function

Abstract

. Let W λ,b (x) = (cid:2) ∞ n = 0 λ n g(b n x) where b ≥ 2 is an integer and g(u) = cos ( 2 πu) (classical Weierstrass function). Building on work by Ledrappier (In Symbolic Dynamics and Its Applications (1992) 285–293), Bara´nski, Bárány and Romanowska ( Adv. Math. 265 (2014) 32–59) and Tsujii ( Nonlinearity 14 (2001) 1011–1027), we provide an elementary proof that the Hausdorff dimension of W λ,b equals 2 + log λ log b for all λ ∈ (λ b , 1 ) with a suitable λ b < 1. This reproduces results by Bara´nski, Bárány and Romanowska ( Adv. Math. 265 (2014) 32–59) without using the dimension theory for hyperbolic measures of Ledrappier and Young ( Ann. of Math. (2) 122 (1985) 540–574; Comm. Math. Phys. 117 (1988) 529–548), which is replaced by a simple telescoping argument together with a recursive multi-scale estimate. Résumé. (In Symbolic Dynamics and Its Applications (1992) 285–293), de Bara´nski, Bárány et Romanowska ( Adv. Math. 265 (2014) 32–59) et de Tsujii ( Nonlinearity 14 (2001) 1011–1027), nous présentons une démonstra-tion élémentaire du fait que la dimension de Hausdorff de W λ,b est égale à 2 + log λ log b pour tout λ ∈ (λ b , 1 ) avec λ b < 1 approprié. Cela reproduit des résultats de Bara´nski, Bárány et Romanowska ( Adv. Math. 265 (2014) 32–59) sans utiliser la théorie de dimension des mesures hyperboliques de Ledrappier et Young ( Ann. of Math. (2) 122 (1985) 540–574 ; Comm. Math. Phys. 117 (1988) 529–548), laquelle est remplacée par un argument téléscopique élémentaire conjointement avec une estimation récursive multi-échelle.