Parametric first-order Edgeworth expansion for Markov additive functionals. Application to $M$-estimations

Abstract

We give a spectral approach to prove a parametric first-order Edgeworth expansion for bivariate additive functionals of strongly ergodic Markov chains. In particular, given any V -geometrically ergodic Markov chain (Xn)n∈N whose distribution depends on a parameter θ , we prove that {ξp(Xn−1,Xn);p ∈P, n ≥ 1} satisfies a uniform (in (θ,p)) first-order Edgeworth expansion provided that {ξp(·, ·);p ∈ P} satisfies some non-lattice condition and an almost optimal moment domination condition. Furthermore, the sequence (Xn)n∈N need not be stationary. This result is applied to M-estimators of Markov chains and in particular of V -geometrically ergodic Markov chains. The M-estimators of some autoregressive processes are studied. Résumé. Grâce à une approche spectrale, nous donnons des conditions assurant la validité du développement d’Edgeworth d’ordre 1 paramétrique, dans le cadre général des fonctionnelles bivariées et additives de chaînes de Markov fortement ergodiques. En particulier, soit (Xn)n∈N une chaîne de Markov V -géométriquement ergodique dont la loi dépend d’un paramètre θ . Nous montrons alors que {ξp(Xn−1,Xn);p ∈P, n ≥ 1} satisfait un développement d’Edgeworth d’ordre 1 uniforme (en (θ,p)) si {ξp(·, ·);p ∈P} satisfait une condition de type non-lattice ainsi qu’une condition quasi-optimale de moment-domination. De plus, ce résultat est établi dans le cas où les données (Xn)n∈N ne sont pas nécessairement stationnaires. Ce résultat est appliqué en particulier aux M-estimateurs associés à des chaînes de Markov V -géométriquement ergodiques. Les M-estimateurs de processus autorégressifs sont étudiés. MSC: 60F05; 60J05; 62F12; 62M05