Fluctuations and correlations for products of real asymmetric random matrices

Nous étudions la distribution des valeurs propres du produit de matrices de Ginibre réelles indépendantes. Les coefficients de ces matrices sont des variables aléatoires i.i.d. réels Gaussiens. Pour de tels produits, on montre le caractère asymptotique Gaussien des statistiques linéaires des valeurs propres réelles et l’on calcule explicitement, en régime global et mésoscopique, les variances asymptotiques associées. Une partie clef de notre preuve établit des estimées de décorrélation pour le processus Pfaffien associé, ce qui permet d’exploiter la dépendance faible entre valeurs propres réelles pour donner des preuves simples et concises de théorèmes de la limite centrale sous des conditions générales. On établit également l’universalité de ces processus ponctuels. On calcule la limite des fonctions de corrélation des valeurs propres à l’intérieur et au bord du spectre limite. Grâce à un raffinement adéquat de la convergence au bord, on obtient les fluctuations limites de la plus grande valeur propre réelle. Près de l’origine, on trouve de nouvelles distributions limites caractérisant la plus petite valeur propre réelle.